تكامل الدوال الحقيقية على فترة مغلقة

سنحاول في هذا الكتاب أن نرتشف قليلا من بحر التكامل، حيث سنمر بمواضيع مختلفة متعلقة بالتكامل على فترة مغلقة. سنفتتح البحث في الحديث عن الدوال الدرجية وتكاملها وخصائصها، ثم ننتقل إلى الدوال المتصلة مقطعياً حيث نقوم بتعريف شروطها وعلاقة الدوال الدرجية بها و بين محدوديتها على فترة مغلقة. ثم سنتعرف على تقريب الدوال المتصلة بالدوال الدرجية و نبرهن صحة ذلك، ومنها ننتقل إلى تكامل الدالة المتصلة مقطعياً وكذلك ندرس خصائص القيمة المتوسطة ونبرهن متباينة منكوسكي و بعد كل هذا الحديث عن الدالة المتصلة مقطعياً سيسهل علينا تعريف الدالة المتصلة مقطعياً على أي فترة ونعرف تكامل هذه الدالة وكذلك خصائص هذا التكامل. و بما أن مجموع ريمان يتوافق مع مفهوم أساسي في علم التفاضل والتكامل ألا و هو التكامل المحدود لذلك سنبدأ بتعريف مجموع ريمان لدالة متصلة مقطعياً و المرتبط بالتجزئي المنتظم، ثم نبين جدواه في حساب بعض التكاملات.